[금융공학] Arbitrage 일물일가의 법칙 소개

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일몰일가의 법칙이란?


 

투자자A는 0기에 C1을 투자하고 1기에 R1을 돌려받았다. 투자자B는 0기에 C1을 투자하고 1기에 R1을 돌려받았다.

이 경우, 만약 R1=R2라면 C1=C2가 성립(일몰일가의 법칙)한다. 그리고 이러한 경우를 No Arbitrage라고 한다.

만약 R1=R2인데 C1<C2이라고 하자. 이 경우에는 돈을 벌고 싶다면 무조건 C1을 구매하고 C2를 판매해야 한다. 이러한 경우(R1=R2, C1<C2)에는 돈을 벌 수 있는 전략이 존재하기 때문에 Arbitrage이다.

 

예시를 통해 좀 더 자세히 알아보자.

 

아래 그림과 같은 경우가 있다.

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이 예시에 대해 두 가지 투자가 있다고 하자.

 

1) Investment 1 : 콜옵션 1개 구매

 

Cost

: C (옵션 구매 가격)

 

Payoff

: 50 (주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우)

: 0 (주식 가격이 50달러로 하락한 경우는 콜옵션이 의미가 없지 때문에 call하지 않는다.)

 

 

2) Investment 2 : 주식을 y개 구매하기 위해 x달러를 은행에서 빌리는 경우

 

Cost

: 100yx

 

Payoff

: 200yx(1+r) (주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우)

: 50yx(1+r) (주식 가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우)

 

일물일가의 법칙이 성립하기 위해서는 우선 payoff가 같아야 한다.

 

주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우의 payoff 비교

1 번식 : 50=200yx(1+r) 

 

주식 가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우의 payoff 비교

2 번식 : 0=50yx(1+r)

 

1번 식에서 2번 식을 빼주면 x(1+r)이 상쇄되므로, y=13,x=503(1+r)이 나온다. 이제이 값을 cost에 대입하여 비교한다. 

 

Investment 1일 때의 cost는 C, Investment 2일때의 cost는 100yx=1003303(1+r)이다. 

 

Cost는 같아야 하므로 C=1003303(1+r)이다. (No Arbitrage)

 

그렇다면 돈을 벌기 위한 Arbitrage전략은 어떤 것이 있는지 보도록 하자!!

 

 

 

(1) C<1003303(1+r)인 경우의 Arbitrage 전략


 

전략 : 주식 y주를 판매하고 옵션 1개를 구매한다 (y=13)

 

  Time 0 Time 1 Note
Stock로부터의
득/실
주식을 13주 판매
: 100 x 13 = 1003 소득
1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승하여 상승한 만큼 옵션 구매자에게 돈을 주어야 한다.
: 2003 소비 


2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우 주식가격 50달러만큼 돈을 옵션 구매자에게 주어야 함.
: 503 소비
Shoot Selling (공매도)
Option로부터의
득/실
옵션 1개 구입
: 옵션 가격 C 소비
1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승
: 50 소득


2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락
: 0 (콜옵션이 무효화 되었기 때문)
 
bank로부터의
득/실
순이익 1003C만큼을 은행에 예금 = D (1003C)(1+r) 얻음  

 

① 1기에 주식가격이 200달러로 상승한 경우

 

이득  = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = 2003+50+(1003C)(1+r) = 503+(1003C)(1+r) 

 

C<1003303(1+r)이므로 C=1003303(1+r)를 대입하면

 

이득 = -503 + (1003- C)(1+r) > -503 + ( 1003(1003303(1+r)))(1+r) = 0

 

따라서 C<1003303(1+r) 이고, 주식가격이 200달러로 상승한 경우에는 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

② 1기에 주식가격이 50달러로 하락한 경우

 

이득 = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = 503+0+(1003C)(1+r)

 

C<1003303(1+r) 이므로 C=1003303(1+r)를 대입하면

 

이득 = -503 + 0 + ( 1003 - C)(1+r) > -503 + 0 + ( 1003(1003303(1+r)))(1+r) = 0

 

따라서 C<1003303(1+r) 이고, 주식가격이 50달러로 하락한 경우에도 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

 

 

(2) C>1003303(1+r)인 경우의 Arbitrage 전략


 

전략 : 주식 y주를 구매하고 옵션 1개를 판매한다. (y=13)

 

  Time 0 Time 1 Note
Stock로부터의
득/실
주식을 13주 구매
: 100 x 13 = 1003 소비


1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승
: 2003만큼 소득

2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락
: 503만큼 소득
 
Option로부터의
득/실
옵션 1개 판매
: 옵션 가격 C 소득
1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승
: 50만큼  옵션 구매자에게 돈을 주어야 함.

2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락
: 콜옵션이 무효화 되었기 때문에 옵션 구매자는 이 옵션을 실행하지 않았을 것이므로 0
 
bank로부터의
득/실
순이익 C1003만큼을 은행에 예금 = D (C1003)(1+r) 소득  

 

① 1기에 주식가격이 200달러로 상승한 경우

 

이득  = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = 200350+(C1003)(1+r) = 503+(C1003)(1+r)

 

C>1003303(1+r)이므로 C=1003303(1+r) 를 대입하면

 

이득 = 503 - ( C - 1003 )(1+r) > 503 - (( 1003 - 303(1+r) ) - 1003 )(1+r) = 0

 

따라서 C>1003303(1+r) 이고, 주식가격이 200달러로 상승한 경우에는 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

② 1기에 주식가격이 50달러로 하락한 경우

 

이득 = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = 503+0+(C1003)(1+r)

 

C>1003303(1+r) 이므로 C=1003303(1+r)를 대입하면

 

이득 = 503 + 0 + ( C - 1003 )(1+r) > 503 + 0 + (( 1003 - 303(1+r) )- 1003 )(1+r) = 0

 

따라서 C>1003303(1+r) 이고, 주식가격이 50달러로 하락한 경우에도 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

 

결론적으로 C1003303(1+r)인 모든 경우에는 무조건 돈을 버는 Arbitrage가 되므로, No Arbitrage를 만족시키기 위해선 C=1003303(1+r)를 만족해야 한다.

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