[금융공학] Arbitrage 일물일가의 법칙 소개

 

일몰일가의 법칙이란?

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투자자A는 0기에 $C_1$을 투자하고 1기에 $R_1$을 돌려받았다. 투자자B는 0기에 $C_1$을 투자하고 1기에 $R_1$을 돌려받았다.

이 경우, 만약 $R_1 = R_2$라면 $C_1 = C_2$가 성립(일몰일가의 법칙)한다. 그리고 이러한 경우를 No Arbitrage라고 한다.

만약 $R_1 = R_2$인데 $C_1 < C_2$이라고 하자. 이 경우에는 돈을 벌고 싶다면 무조건 $C_1$을 구매하고 $C_2$를 판매해야 한다. 이러한 경우($R_1 = R_2$, $C_1 < C_2$)에는 돈을 벌 수 있는 전략이 존재하기 때문에 Arbitrage이다.

 

예시를 통해 좀 더 자세히 알아보자.

 

아래 그림과 같은 경우가 있다.

이 예시에 대해 두 가지 투자가 있다고 하자.

 

1) Investment 1 : 콜옵션 1개 구매

 

Cost

: C (옵션 구매 가격)

 

Payoff

: 50 (주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우)

: 0 (주식 가격이 50달러로 하락한 경우는 콜옵션이 의미가 없지 때문에 call하지 않는다.)

 

 

2) Investment 2 : 주식을 $y$개 구매하기 위해 $x$달러를 은행에서 빌리는 경우

 

Cost

: $100y - x$

 

Payoff

: $200y - x(1+r)$ (주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우)

: $50y - x(1+r)$ (주식 가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우)

 

일물일가의 법칙이 성립하기 위해서는 우선 payoff가 같아야 한다.

 

주식 가격이 100달러에서 200달러로 상승한 경우의 payoff 비교

1 번식 : $50 = 200y - x(1+r)$ 

 

주식 가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우의 payoff 비교

2 번식 : $0 = 50y - x(1+r)$

 

1번 식에서 2번 식을 빼주면 $x(1+r)$이 상쇄되므로, $y = \frac{1}{3}, x = \frac{50}{3(1+r)}$이 나온다. 이제이 값을 cost에 대입하여 비교한다. 

 

Investment 1일 때의 cost는 C, Investment 2일때의 cost는 $100y - x = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$이다. 

 

Cost는 같아야 하므로 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$이다. (No Arbitrage)

 

그렇다면 돈을 벌기 위한 Arbitrage전략은 어떤 것이 있는지 보도록 하자!!

 

 

 

(1) $C < \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$인 경우의 Arbitrage 전략

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전략 : 주식 $y$주를 판매하고 옵션 1개를 구매한다 ($y = \frac{1}{3}$)

 

	Time 0	Time 1	Note
Stock로부터의 득/실	주식을 $\frac{1}{3}$주 판매 : 100 x $\frac{1}{3}$ = $\frac{100}{3}$ 소득	1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승하여 상승한 만큼 옵션 구매자에게 돈을 주어야 한다. : $\frac{200}{3}$ 소비  2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락한 경우 주식가격 50달러만큼 돈을 옵션 구매자에게 주어야 함. : $\frac{50}{3}$ 소비	Shoot Selling (공매도)
Option로부터의 득/실	옵션 1개 구입 : 옵션 가격 C 소비	1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승 : 50 소득 2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락 : 0 (콜옵션이 무효화 되었기 때문)
bank로부터의 득/실	순이익 $\frac{100}{3}-C$만큼을 은행에 예금 = D	$(\frac{100}{3} - C)(1+r)$ 얻음

 

① 1기에 주식가격이 200달러로 상승한 경우

 

이득  = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = $-\frac{200}{3} + 50 + (\frac{100}{3} - C)(1+r)$ = $-\frac{50}{3} + (\frac{100}{3} - C)(1+r)$ 

 

$C < \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$이므로 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$를 대입하면

 

이득 = -$\frac{50}{3}$ + ($\frac{100}{3}$- C)(1+r) > -$\frac{50}{3}$ + ( $\frac{100}{3} - (\frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)})$)$(1+r)$ = 0

 

따라서 $C < \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이고, 주식가격이 200달러로 상승한 경우에는 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

② 1기에 주식가격이 50달러로 하락한 경우

 

이득 = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = $-\frac{50}{3} + 0 + (\frac{100}{3} - C)(1+r)$

 

$C < \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이므로 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$를 대입하면

 

이득 = -$\frac{50}{3}$ + 0 + ( $\frac{100}{3}$ - C)(1+r) > -$\frac{50}{3}$ + 0 + ( $\frac{100}{3} - (\frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)})$)(1+r) = 0

 

따라서 $C < \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이고, 주식가격이 50달러로 하락한 경우에도 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

 

 

(2) $C > \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$인 경우의 Arbitrage 전략

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전략 : 주식 $y$주를 구매하고 옵션 1개를 판매한다. ($y = \frac{1}{3}$)

 

	Time 0	Time 1	Note
Stock로부터의 득/실	주식을 $\frac{1}{3}$주 구매 : 100 x $\frac{1}{3}$ = $\frac{100}{3}$ 소비	1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승 : $\frac{200}{3}$만큼 소득 2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락 : $\frac{50}{3}$만큼 소득
Option로부터의 득/실	옵션 1개 판매 : 옵션 가격 C 소득	1) 주식가격이 100달러에서 200달러로 상승 : 50만큼  옵션 구매자에게 돈을 주어야 함. 2) 주식가격이 100달러에서 50달러로 하락 : 콜옵션이 무효화 되었기 때문에 옵션 구매자는 이 옵션을 실행하지 않았을 것이므로 0
bank로부터의 득/실	순이익 $C-\frac{100}{3}$만큼을 은행에 예금 = D	$(C-\frac{100}{3})(1+r)$ 소득

 

① 1기에 주식가격이 200달러로 상승한 경우

 

이득  = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = $\frac{200}{3} - 50 + (C-\frac{100}{3})(1+r)$ = $\frac{50}{3} + (C-\frac{100}{3})(1+r)$

 

$C > \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$이므로 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 를 대입하면

 

이득 = $\frac{50}{3}$ - ( C - $\frac{100}{3}$ )(1+r) > $\frac{50}{3}$ - (( $\frac{100}{3}$ - $\frac{30}{3(1+r)}$ ) - $\frac{100}{3}$ )(1+r) = 0

 

따라서 $C > \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이고, 주식가격이 200달러로 상승한 경우에는 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

② 1기에 주식가격이 50달러로 하락한 경우

 

이득 = (Stock으로부터의 득/실 + option으로부터의 득/실 + bank로부터의 득/실) = $\frac{50}{3} + 0 + (C-\frac{100}{3})(1+r)$

 

$C > \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이므로 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$를 대입하면

 

이득 = $\frac{50}{3}$ + 0 + ( C - $\frac{100}{3}$ )(1+r) > $\frac{50}{3}$ + 0 + (( $\frac{100}{3}$ - $\frac{30}{3(1+r)}$ )- $\frac{100}{3}$ )(1+r) = 0

 

따라서 $C > \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$ 이고, 주식가격이 50달러로 하락한 경우에도 무조건 돈을 버는 전략이 존재한다. (Arbitrage)

 

 

결론적으로 $C \ne \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$인 모든 경우에는 무조건 돈을 버는 Arbitrage가 되므로, No Arbitrage를 만족시키기 위해선 $C = \frac{100}{3} - \frac{30}{3(1+r)}$를 만족해야 한다.