[금융공학] Put-Call Option Parity Formula (P-C 짝공식)

P : t 시점에 행사가격 K로 주식을 팔 수 있는 풋옵션의 가격

C : t 시점에 행사가격 K로 주식을 살 수 있는 콜옵션의 가격

S($S_0$) : 현재 시점(t=0)에서 주식의 가격

 

연속복리를 적용하였을 때, No Aribtrage를 만족하는 C, P, S사이의 관계는 아래 식과 같고 이를 Put-Call Option Parity Formula(P-C 짝공식)이라고 말한다.

 

$$S + P - C = K e^{-rt}$$

 

※ 연속복리일 때 이자율?

예를 들어 연이율을 r이라고 하고, 월복리인 경우를 생각해보자.

0기일 때 P를 투자하고, t년 뒤에 F만큼을 얻는다고 했을 때 F를 P에 대해 표현을 해보자.

 

Cash Flow는 아래 그림과 같다.

이자가 년 단위가 아닌, 월 단위로 계산이 되기 때문에 실질 이자율은 $r$을 12(개월)로 나눈 $\frac{r}{12}$가 된다.

$t$년은 $12t$개월이 되므로 F를 P로 계산하면 다음과 같다.

$$F = P(1+(\frac{r}{12}))^{12t}$$

 

그런데 만약 월 단위로 이자가 계산 되는 것이 아니라 매초, 매 순간마다 이자율이 계산되는 연속복리의 형태라면 어떻게 될 것인가? 위에서 1년을 12로 나누었던 것처럼 1년을 $n$으로 나눈 뒤, $n$을 무한대로 보내준다.

$F = \lim_{n \to \infty} P(1+\frac{r}{n})^{nt} = \lim_{n \to \infty} P(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}rt} = P e^{rt}$

 

따라서 연속복리일 경우는 아래와 같이 나오게 된다.

$$F = P e^{rt}$$

 

 

$S+P-C \ne Ke^{-rt}$인 경우에 돈을 벌기 위한 어떤 arbitrage 전략을 취해야 하는가?

 

	$S+P-C < Ke^{-rt}$ ($(S+P-C)e^{rt} < K$)	$S+P-C > Ke^{-rt}$ ($(S+P-C)e^{rt} > K$)
t=0기 일 때 각 상황에서 취할 전략	주식 한 주를 구매한다.(S) 풋옵션 한 개를 구입한다.(P) 콜옵션 한 개를 판매한다.(-C) : cost = $S+P-C$	주식 한 주를 판매한다, 공매도한다. (-S) 풋옵션 한 개를 판매한다 (-P) 콜옵션 한 개를 구매한다. (C) : cost = $C-(P+S)$ = $C-P-S$
$S(t) > K$ 주식 가격이 행사가격보다 높아졌다	주식 가격이 행사 가격보다 높아졌다 ->) Call Option 이익, Put Option 무효화가 된다. 풋옵션 : 휴지조각이 되었으므로 풋옵션으로 부터 얻을 수 있는 이득은 0달러이다. 콜옵션 이 전략에서는 콜옵션을 판매하였으므로 콜옵션 구매자는 이 옵션을 분명 실행해서 이득을 얻었을 것! : 콜옵션 구매자에게 $S(t)-K$만큼 돈을 줘야 한다. 주식가격 0기에 구입한 주식이 만기일이 되어 판매를 한다.  : 주식 가격인 $S(t)$만큼 돈을 받는다. 따라서 t기의 주머니 속으로 들어오는 이익은 0 - (S(t)-K) + S(t) = K $K$만큼의 이득이 들어온다. 0기 일때는 주식 투자를 하기 위한 아무런 돈도 없었기 때문에 은행으로부터 Cost만큼의 돈을 빌렸고, 이득이 생긴 지금 은행으로부터 빌린 돈을 갚아야 한다. 최종 순이익 (t기의 gain) = 최종 이득 - 은행에 상환해야 하는 금액 = $K - (S+P-C)e^{rt} > 0$ ($(S+P-C)e^{rt} < K$ 이므로) 따라서 이 경우에 돈을 벌게 된다.	주식 가격이 행사 가격보다 높아졌다 ->) Call Option 이익, Put Option 무효화가 된다. 풋옵션 : 휴지조각이 되었으므로 풋옵션으로 부터 얻을 수 있는 이득은 0달러이다. 콜옵션 이 전략에서는 콜옵션을 구매하여 실행하였으므로 $S(t)-K$만큼의 이득을 챙길 수 있다. : $S(t)-K$만큼의 돈이 들어온다. 주식가격 0기에 공매도를 하였으므로 다시 갚아야 한다.  : 주식 가격인 $S(t)$만큼 돈을 상환한다. 따라서 t기의 주머니 속으로 들어오는 이익은 0 + (S(t)-K) - S(t) = -K $K$만큼의 돈이 나간다. 0기 일때는 주식 투자를 하기 위한 아무런 돈도 없었기 때문에 은행으로부터 Cost만큼의 돈을 빌렸고, 이득이 생긴 지금 은행으로부터 빌린 돈을 갚아야 한다. 최종 순이익 (t기의 gain) = 최종 이득 - 은행에 상환해야 하는 금액 = $-K - (C-P-S)e^{rt}$ = $-K+(S+P-C)e^{rt} > 0$ ($(S+P-C)e^{rt} > K$ 이므로) 따라서 이 경우에도 돈을 벌게 된다.
$S(t) < K$ 주식 가격이 행사가격보다 낮아졌다	주식 가격이 행사 가격보다 낮아졌으므로  ->) Put Option 이익, Call Option 무효화가 된다. $S(t) > K$인 경우에 했던 것처럼 하여 최종 순이익을 구하면 두 경우 모두 다 0보다 크게 되어 무조건 돈을 벌게 된다.
결론	$S+P-C \ne Ke^{-rt}$인 모든 경우에는 돈을 벌 수 있는 전략이 무조건적으로 존재한다. (Arbitrage) 위에서 세운 전략에서 조건이 $S+P-C = Ke^{-rt}$였다면 최종 순이익은 0이 되기 때문에 돈을 벌 수가 없다. 따라서 No Arbitrage를 하여 t기의 gain을 0으로 만들어주기 위해선 $S+P-C = Ke^{-rt}$이 되어야 한다.