[금융공학] stock가치와 option가치를 비교하는 Arbitrage 소개

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콜옵션과 풋옵션 차이 정리


  콜옵션 Call Option 풋옵션 Put Option
정의 현재 C라는 비용을 내고 t 시점에 주식을 K라는 가격에 살 수 있는 권리 현재 P라는 비용을 내고 t 시점에 주식을 K라는 가격에 팔 수 있는 권리
용어 정리 C : 콜옵션의 가격
P : 풋옵션의 가격
t 시점 : 옵션 행사 시기
K : 옵션 행사 가격
1년 뒤 주식가격 > K 이득 손해이므로 해당 옵션을 발행하지 않음
1년 뒤 주식가격 < K 손해이므로 해당 옵션을 발행하지 않음 이득

 

콜옵션 일반화시키기


 

Q) 현재 주식가격이 100달러이고, 1년 뒤에 200달러로 상승하거나 50달러로 하락한다고 한다. 이 경우에 사용하고자 하는 옵션의 행사가격은 150달러이다. 

주식은 x주를 구매하고, 옵션은 y개를 구입한다. 옵션가격은 C라고 하자. 1년 뒤 이득이 발생하지 않는 경우는?

 

[S(0)=100, S(t)=200,50, K=150]

 

Sol)

위 상황을 실행하기 위해서는 주식 구매 가격 100x옵션 구매 가격 Cy, 총 100x+Cy라는 초기 투자 비용이 필요하다. 

 

100x+Cy라는 초기 투자 금액을 0기에 투자하고, 1기일 때 가치(stock 가치 + option 가치)를 보자.

 

1) 1기일 때 주식 가격이 200달러로 상승한 경우

 

Value(V1) = 200x+50y (구매했던 stock x개가 200달러가 되어 얻게 되는 가치 + call option y개 가 50달러 이득을 보게 됨으로써 얻게 되는 가치)

 

2) 1기일 때 주식 가격이 50달러로 하락한 경우

 

Value(V2) = 50x+0(구매했던 stock x개에 50달러가 되어 얻게 되는 가치 + 0, stock 가격이 행사가격보다 낮으므로 이 콜옵션은 손해가 되어 무효가 된다)

 

이때 주식가격이 200달러로 상승하던지, 50달러로 떨어지던지 주머니 속 Value는 같아져야 한다. (V1=V2) 사실상 Value를 같게 하기 위해 콜옵션을 구매하는 것이다. 

200x+50y=50x

따라서

y=3x라는 방정식이 나온다.

 

  x>0 , y<0 x<0 , y>0
주식 주식을 x주 구입한다. 주식을 x주 누군가한테 판매한다. (공매도)
옵션 (콜)옵션을 y개 판매한다. (콜)옵션을 y개 구매한다.

 

 

 

ex)

0기일 때 주식 x개, 옵션 y개를 구매한다. 

이때의 비용은 100x+Cy이며 Cash Flow상으로는 다음과 같이 표현된다.

etc-image-0

 

1기일 때의 얻는 가치는 200달러일 때는 200x+50y, 50달러일 때는 50x이다.

y=3x이므로 상승하는 경우, 하락하는 경우 둘 다 이득을 50x로 표현할 수 있으며 이는 아래 Cash flow로 표현될 수 있다. 

etc-image-1

 

Aribtrage 결정


이 경우의 순이익을 구해보도록 하자. 초기 투자금액100x+Cy와 이득 50x는 시점이 다르기 때문에 discount해주거나 accumulate를 해줘야 한다. 연이율을 r이라 하자.

 

1기의 gain = 50x(100x+Cy)(1+r) = 50x(100xC(3x))(1+r) = (1+r)x[3C100+501+r]

 

이는 세 가지 경우로 나뉜다.

1)  3C = 100501+r 인 경우

 

C = 553인 경우에는 1기의 gain이 0이 되므로 돈을 벌 수 없다. 이러한 경우를 No Arbitrage라고 한다.

 

2) 3C>100501+r인 경우

 

콜 옵션 가격 C를 20이라고 하자. 

3C = 60, 100501+r=10050(0.9)=55이므로 3C>100501+r를 만족한다.

 

- 현재시점 (t=0)

stock는 1개만 구입했다 하자.

x=1이고, y=3이므로 옵션 3개를 누군가에게 판매하였다고 할 수 있다.

Cost = 100 x 1(주식 1개 구입) - 20 x 3(누군가에게 옵션 3개 판매) = 40

이 경우 주식 투자를 하기 위해 비용 40달러 만큼 은행에서 빌려 충당한다.

 

- 옵션행사시점 (t=1)

Value = 50x = 50 (∵ 200달러로 상승한 경우, 50달러로 하락한 경우 모두 y=3x라는 식이 성립하므로 이득이 50x이기 때문)

etc-image-2

순수익 = 50 - 4010.9 = 50 - 44.4 = 5.6 

 

따라서 콜옵션이 20달러일 때 주식을 1개만 구입한 경우에는 5.6달러 이득을 볼 수 있다.

 

이 경우를 Arbitrage라고 부르며, 돈을 버는 전략이 무조건 존재함을 알 수 있다.

 

 

3) 3C<100501+r인 경우

 

콜옵션 가격 C가 15라고 하자.

 

3C = 45, 100501+r=10050(0.9)=55이므로 3C<100501+r를 만족한다.

 

- 현재시점 (t=0)

stock은 1개만 공매도했다고 하자.

그렇게 되면 x=1이며, y=3x이므로 옵션 3개를 누군가로부터 구매하였다고 할 수 있다.

 

Cost = 100 x (-1) (주식 1개 판매) + 15 x 3(누군가로부터 옵션 3개 구매) = -55

따라서 이 경우 주식 투자를 하는 과정에서 55달러가 주머니로 inflow됨을 알 수 있다. 이제 이렇게 얻은 55달러를 은행에 예금하여 돈을 불릴 것이다.

 

- 옵션 행사시점 (t=1)

Value = 50x = -50

etc-image-3

이 경우 역시 시점이 다르기 때문에 비교가 불가능하다. 시점을 맞추어주면

 

순수익 = 55(1+r)50 = 5510950 = 11.1

 

따라서 콜옵션 가격이 15달러이고, 주식 1주를 공매도한 경우에는 11.1달러를 이득을 볼 수 있다.

 

이 경우 역시 Arbitrage라고 부르며, 역시 돈 버는 전략이 무조건 존재함을 알 수 있다.

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