[금융공학] stock가치와 option가치를 비교하는 Arbitrage 소개

콜옵션과 풋옵션 차이 정리

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	콜옵션 Call Option	풋옵션 Put Option
정의	현재 C라는 비용을 내고 t 시점에 주식을 K라는 가격에 살 수 있는 권리	현재 P라는 비용을 내고 t 시점에 주식을 K라는 가격에 팔 수 있는 권리
용어 정리	C : 콜옵션의 가격 P : 풋옵션의 가격 t 시점 : 옵션 행사 시기 K : 옵션 행사 가격
1년 뒤 주식가격 > K	이득	손해이므로 해당 옵션을 발행하지 않음
1년 뒤 주식가격 < K	손해이므로 해당 옵션을 발행하지 않음	이득

 

콜옵션 일반화시키기

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Q) 현재 주식가격이 100달러이고, 1년 뒤에 200달러로 상승하거나 50달러로 하락한다고 한다. 이 경우에 사용하고자 하는 옵션의 행사가격은 150달러이다. 

주식은 $x$주를 구매하고, 옵션은 $y$개를 구입한다. 옵션가격은 C라고 하자. 1년 뒤 이득이 발생하지 않는 경우는?

 

[$S(0) = 100$, $S(t) = 200, 50$, $K = 150$]

 

Sol)

위 상황을 실행하기 위해서는 주식 구매 가격 $100x$와 옵션 구매 가격 C$y$, 총 $100x + Cy$라는 초기 투자 비용이 필요하다. 

 

$100x + Cy$라는 초기 투자 금액을 0기에 투자하고, 1기일 때 가치(stock 가치 + option 가치)를 보자.

 

1) 1기일 때 주식 가격이 200달러로 상승한 경우

 

Value($V_1$) = $200x + 50y$ (구매했던 stock $x$개가 200달러가 되어 얻게 되는 가치 + call option $y$개 가 50달러 이득을 보게 됨으로써 얻게 되는 가치)

 

2) 1기일 때 주식 가격이 50달러로 하락한 경우

 

Value($V_2$) = $50x + 0$(구매했던 stock $x$개에 50달러가 되어 얻게 되는 가치 + 0, stock 가격이 행사가격보다 낮으므로 이 콜옵션은 손해가 되어 무효가 된다)

 

이때 주식가격이 200달러로 상승하던지, 50달러로 떨어지던지 주머니 속 Value는 같아져야 한다. ($V_1 = V_2$) 사실상 Value를 같게 하기 위해 콜옵션을 구매하는 것이다. 

$200x + 50y = 50x$

따라서

$y = -3x$라는 방정식이 나온다.

 

	$x > 0$ , $y < 0$	$x < 0$ , $y > 0$
주식	주식을 $x$주 구입한다.	주식을 $x$주 누군가한테 판매한다. (공매도)
옵션	(콜)옵션을 $y$개 판매한다.	(콜)옵션을 $y$개 구매한다.

 

 

 

ex)

0기일 때 주식 $x$개, 옵션 $y$개를 구매한다. 

이때의 비용은 $100x + Cy$이며 Cash Flow상으로는 다음과 같이 표현된다.

 

1기일 때의 얻는 가치는 200달러일 때는 $200x + 50y$, 50달러일 때는 $50x$이다.

$y = -3x$이므로 상승하는 경우, 하락하는 경우 둘 다 이득을 $50x$로 표현할 수 있으며 이는 아래 Cash flow로 표현될 수 있다. 

 

Aribtrage 결정

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이 경우의 순이익을 구해보도록 하자. 초기 투자금액$100x + Cy$와 이득 $50x$는 시점이 다르기 때문에 discount해주거나 accumulate를 해줘야 한다. 연이율을 $r$이라 하자.

 

1기의 gain = $50x - (100x + Cy)(1+r)$ = $50x - (100x - C(3x))(1+r)$ = $(1+r)x[3C - 100 + \frac{50}{1+r}]$

 

이는 세 가지 경우로 나뉜다.

1)  3C = $100 - \frac{50}{1+r}$ 인 경우

 

C = $\frac{55}{3}$인 경우에는 1기의 gain이 0이 되므로 돈을 벌 수 없다. 이러한 경우를 No Arbitrage라고 한다.

 

2) $3C > 100 - \frac{50}{1+r}$인 경우

 

콜 옵션 가격 C를 20이라고 하자. 

3C = 60, $100 - \frac{50}{1+r} = 100 - 50(0.9) = 55$이므로 $3C > 100 - \frac{50}{1+r}$를 만족한다.

 

- 현재시점 (t=0)

stock는 1개만 구입했다 하자.

$x=1$이고, $y=-3$이므로 옵션 3개를 누군가에게 판매하였다고 할 수 있다.

Cost = 100 x 1(주식 1개 구입) - 20 x 3(누군가에게 옵션 3개 판매) = 40

이 경우 주식 투자를 하기 위해 비용 40달러 만큼 은행에서 빌려 충당한다.

 

- 옵션행사시점 (t=1)

Value = $50x$ = 50 (∵ 200달러로 상승한 경우, 50달러로 하락한 경우 모두 $y=-3x$라는 식이 성립하므로 이득이 $50x$이기 때문)

순수익 = 50 - $40 \frac{1}{0.9}$ = 50 - 44.4 = 5.6 

 

따라서 콜옵션이 20달러일 때 주식을 1개만 구입한 경우에는 5.6달러 이득을 볼 수 있다.

 

이 경우를 Arbitrage라고 부르며, 돈을 버는 전략이 무조건 존재함을 알 수 있다.

 

 

3) $3C < 100 - \frac{50}{1+r}$인 경우

 

콜옵션 가격 C가 15라고 하자.

 

3C = 45, $100 - \frac{50}{1+r} = 100 - 50(0.9) = 55$이므로 $3C < 100 - \frac{50}{1+r}$를 만족한다.

 

- 현재시점 (t=0)

stock은 1개만 공매도했다고 하자.

그렇게 되면 $x=-1$이며, $y=-3x$이므로 옵션 3개를 누군가로부터 구매하였다고 할 수 있다.

 

Cost = 100 x (-1) (주식 1개 판매) + 15 x 3(누군가로부터 옵션 3개 구매) = -55

따라서 이 경우 주식 투자를 하는 과정에서 55달러가 주머니로 inflow됨을 알 수 있다. 이제 이렇게 얻은 55달러를 은행에 예금하여 돈을 불릴 것이다.

 

- 옵션 행사시점 (t=1)

Value = $50x$ = -50

이 경우 역시 시점이 다르기 때문에 비교가 불가능하다. 시점을 맞추어주면

 

순수익 = $55(1+r) - 50$ = $55 \frac{10}{9} - 50$ = 11.1

 

따라서 콜옵션 가격이 15달러이고, 주식 1주를 공매도한 경우에는 11.1달러를 이득을 볼 수 있다.

 

이 경우 역시 Arbitrage라고 부르며, 역시 돈 버는 전략이 무조건 존재함을 알 수 있다.