[한양대] 2017 자연계열 오후 2

 

 

문제 1 제시문

 

 

문제 1-1

 

 

 

잘한 점 

=> 문제를 풀어서 증명을 하였다. 그런데 답지와 다른 방법으로 풀었다. 나의 전체적인 풀이는 다음과 같다.

저 식을 f(t)로 놓고, t>0라고 주어졌기 때문에 이 범위에서 f'(t) <0 이라는 점을 미분으로 증명하였다.

수정. 계산실수를 하였다... t>0일땐 항상 1/t+1 > 1/t+2이다. 그러므로 f'(t)는 항상 0보다 크기 때문에 함수 f(t)는 단조 증가함수이다. 

너무 이상해서 그래프를 그려주는 프로그램에 입력을 하였더니 다음과 같이 나왔다.

증가를 하되 점근선이 x축 아래쪽에서 수렴을 하는 양상을 띄고 있다.

항상 단편적인 모습이 아니라 전체적인 그래프의 모습을 그리는 것이 매우 중요함을 알게 되었다. 또한 수학 연산을 제대로 했다면 수학은 거짓말하지 않는다는 점 또한 배웠다.

그리고 f(0) = 0이기 때문에 t>0인 구간에서 f(t)는 0보다 작다고 하였다. 

 

반대로 답지는 이를 적분하여 넓이가 0보다 작음을 보였다. 그런데 전체적으로 문제에서 묻는 것, 그리고 접근할 수 있는 방향 등을 고려해보았을 때 내 풀이가 훨씬더 생각하기 쉬운 풀이인듯 하다.

 

 

피드백

=> 답지 풀이대로 하면 다음과 같다.

위와 같이 적분을 하여서 그래프로 나타내면 아래와 같다.

 

 

 

문제 1-2

 

 

 

잘한 점

=> f(x)의 최댓값을 구하려면 우선 f'(x)를 구해야 할 것 같다. 그런데 문제에서 주어진 f(x)로는 절대 미분이 불가능해보인다. 따라서 각 항에 로그를 취하였다. 그러면 ln f(x) 가 나온다. 이를 미분하여 도함수의 형태를 통해 최댓값을 구할 것이다.

ln f(x)를 미분하면 f'(x)/f(x)가 나온다. 함수 f(x)는 양수 구간에서 정의가 되었고 f'(x)/f(x)는 이 구간에서 무조건 0보다 작기 때문에 함수 f(x)는 단조감소함수이다. 

따라서 최댓값은  x에 0을 넣은 f(0)값이다. ln f(0) = -1/2 ln2이므로 f(0) = √2/2이다.

 

 

피드백

=> 나는 미분으로 했건만 답지도 역시 이 문제에서도 적분을 사용하였다. 

 

이렇게 f'(x)/f(x)는 위와 같이 적분이 된다. 그래프를 그려보면 알겠지만 이 값도 역시 음수이므로 내가 구했던 것처럼 f'(x)/f(x) < 0 이 나온다. 

f(x) <= f(0) = √2/2 이기 때문에 최댓값은 √2/2이다.

 

이 문제에서 시간을 많이 뺏겼다. 아무리 한양대 논술시험이라 하더라도 절대로 생각할 수 없는 기괴한 풀이를 요구하지는 않는다. 그냥 한 문제당 7분 정도 고민하다가 이 방법이 맞는 것 같다는 생각이 들면 직진하는 태도가 시간 절약에도, 문제를 풀어나가는 자신감에서도 도움이 되는 듯하다.

 

문제 1-3

 

 

 

잘한 점

=> 최근 한양대 문제에서 나온 유형이다. 아래 링크 참고하시길

 

newindow.tistory.com/149

[한양대] 2018 자연계열 오전

 

문제에서 나온 f''(x)f(x) - {f'(x)}^2 >0 이 f'(x)/f(x)를 미분한 값임을 찾아내었다. 

f'(x)/f(x)는 문제 2번에서도 나왔기 때문에 문제 2번의 식을 빌려썼다. 

f'(x)/f(x) = ln(2x+1) - ln(2x+2) + 1/2(x+1)이다.

이를 미분하여 f'(x)/f(x)의 최솟값이 0보다 크다는 것을 증명하면 될 것 같은데 미분을 잘 못하였다. 더군나나 계산실수도 했기 때문에 풀지를 못하였다...

 

피드백

=>내 생각에는 계산실수만 안했다면 값이 나왔을 것 같다. 계산을 하는 과정에서는 종이를 아끼지 말되 한번 할 때 제대로 하자.

 

 

문제 2 제시문

 

 

 

문제 2-1

 

 

 

잘한 점

=> 그냥 뭐 쉬웠다. 다만 조금 까다롭다는 느낌은 있었다. 내가 그린 그림에서는 분명 점이 3개가 나왔는데 말이지.....

 

피드백

=> 나쁘지 않다.

 

 

 

문제 2-2

 

 

 

잘한 점

=> 진짜 풀면서도 뭐지 할만큼 간단했으나 최악의 풀이이다. ㅋㅋ

왜 이렇게 풀었는가! 원인은 바로 '이렇게 되지 않을까'라는 나의 추측으로 문제를 접근했기 때문

정확한 식으로 논리적으로 풀어나가야 하는데 말이지.....

 

피드백

=> 우선 문제1에서 했다시피 점 P와 도형 사이의 거리를 계속 재고 있다. 따라서 이를 식으로 표현한다.

그리고 계산하기 쉽게 루트 안의 식을 f(x)라고 놓는다.

이 값이 r^2과 같을 때가 바로 만나는 경우이고, 그 만나는 점의 개수 중 최댓값이 바로 문제에서 구하고자 하는 Np이다.

 

우선 그래프를 그려야 한다.

f'(x)를 구하자.

2x^2 + 2ax + 1이 실근, 중근, 허근을 갖느냐에 따라 그래프 개형이 다르다.

 

1) D>0

극값이 3개이므로 위와 같이 나오며 Np = 4이다.

 

2) D=0

 

극값은 1개이므로 위와 같이 나오며 Np=2이다.

 

3) D<0

 

극값은 0개이므로 위와 같이 나오며 Np=2이다.

 

따라서 D<=0일때 Np값이 2이다.

 

그러므로 답은 

 

문제 2-3

 

 

 

잘한 점

=> 우선적으로 나는 저 식을 그래프 상으로 표현하려고 최선의 노력을 했다. 그런데 난생 처음 보는 식이라서 지나는 정점들을 중심으로 그어서 대략적인 개형을 파악하려고 했다. 근데 실패.

 

 

피드백

=> 답지도 좀 얼탱이 없다. 

 

솔직히 뭔말인지 모르겠고 더 나은 풀이를 고민해봐야 겠다.