글쓰는공대생의 IT블로그

이자율이 아래 그림과 같이 실시간으로 변한다고 가정하자. 현재는 t = 0이고, $r(s)$는 시간 s시기에서의 이자율이다. 만약 s시기에 $x$라는 금액을 은행에 투자하였다면, h만큼 지나고 s+h시기에 은행에 쌓이는 금액은 $$x(1+r(s)h)$$ 라고 할 수 있다. ※ 연간이자율과 월복리 예를 들어 연간 이자율이 r라고 하고, 월 복리로 이자가 측정이 된다고 하면 한 달이 지나고 난 뒤에는 원금의 $\frac{r}{12}$배 크기의 이자가 쌓인다. 따라서 연간이자율$r$은 그 순간의 이자율인 $i$에 기간인 12를 곱한 $12i$가 된다. 위의 예시도 이와 같은 원리이다. s시기의 순간 이자율을 $r(s)$라고 했을 때, 그 값에 기간인 $h$를 곱한 $r(s)h$배 만큼의 이자가 쌓이므로 $x(..

은행에 돈을 예금하는 이유는 이자 때문이다. 1년 후 미래에 얻게 되는 미래 가치 $F$는 연간 이자율을 $r$이라고 했을 때, 현재 투자하는 예금인 $P$의 $(1+r)$배인 $P(1+r)$로 표현할 수 있다. 하지만 만약 $r$이 음수라면 $F$는 $P$보다 작아지게 된다. RoR이란 미래가치 F가 현재 투자금액 P보다 더 크도록 만들어주는 최소한의 이자율이다. ex) 현재 100달러를 투자해서 1년 뒤에 150달러를 받으려고 한다. 이때의 RoR은 몇%인가? $100(1+r)^1 = 150$ $1+r = \frac{3}{2}$ 따라서 이자율 RoR은 50%이다. 이제 ror을 1년이 아닌 n년으로 일반화시켜보자. 아래와 같은 cash flow가 있다고 가정하자. 위와 같은 경우의 RoR을 구해보도록..

목적 : LogNormal Distribution 관점에서 GBM의 평균과 표준편차를 구한다. 1. t기 후의 최종 주식 가격을 일반화시킨다. 현재 시기를 0이라고 하고, t기 후의 최종 주식 가격을 일반화시켜본다. 1) 우선 t를 n으로 나누어 단위 시간이 될 $\Delta$를 $\frac{t}{n}$으로 정의한다. 주식 가격은 $\Delta$가 지날 때마다 오르고 내리고를 n번 반복한다. 2) 확률변수 $Y_i$를 다음과 같이 정의하자 (베르누이 확률분포) $Y_i$ = 1 (주식 가격이 상승할 때), 0 (주식가격이 하락할 때) $Y_0$부터 $Y_n$의 값들을 전부 더하게 되면 주식가격이 하락한 경우는 값이 0이기 때문에 주식 가격이 상승한 경우만 반영이 된다. 위의 정의에 따라 $\Sigma Y..

1. GBM(Geometric Brownian Motion)이란? GBM은 주식의 기하학적 브라운 운동을 말하며, 2개의 parameter $\mu$(drift parameter)와 $\sigma$(volatility parameter)를 가진다. - $\mu$ (drift parameter) : 주식 가격의 트랜드를 반영하는 변수이다. 기울기를 나타낸다. - $\sigma$ (volatility parameter) : 주식 가격의 변동성을 반영하는 변수이다. 그래프의 떨리는 정도를 나타낸다. 현재 시간을 0이라 하고, $y$시기의 주식 가격을 $S(y)$라고 하자. 변수로 $\frac{S(t+y)}{S(y)}$가 있다고 하자. ($\frac{S(2)}{S(1)}$, $\frac{S(3)}{S(2)}$...

은행에 원금 $P$를 넣으면, n년 뒤에는 이자율이 붙어 (복리라고 가정했을 때) 미래가치 $F$의 값은 $F = P(1+r)^n$ 라는 금액이 된다. Doubling Rule이란 미래가치 F값이 원금보다 2배가 되는 시점을 말한다. 그렇다면 Doubling Rule을 만족시키는 $n$값을 구해보도록 하자. ① 2P를 만족시키는 F값 나타내기 $F = 2P = P(1+r)^n$ $2P = P(1+r)^n$ P>0이므로 각 항으로 P로 나누면 $2 = (1+r)^n$ 각 항에 $ln$을 취해주면 $ln2$ = $n$ x $ln(1+r)$ 가 된다. ② $ln(1+r)$을 $r$로 치환하기 위 그래프는 $y=r$그래프와 $y=ln(1+r)$그래프이다. r이 매우 작은 경우, $ln(1+r)$은 r과 매우 비..