[ 경제성공학 ] Doubling Rule 소개 및 Python으로 간단하게 구현하기

은행에 원금 $P$를 넣으면, n년 뒤에는 이자율이 붙어 (복리라고 가정했을 때) 미래가치 $F$의 값은 $F=P(1+r{)}^n$ 라는 금액이 된다. 

 

Doubling Rule이란 미래가치 F값이 원금보다 2배가 되는 시점을 말한다. 

 

그렇다면 Doubling Rule을 만족시키는 $n$값을 구해보도록 하자.

 

① 2P를 만족시키는 F값 나타내기

 

$F=2P=P(1+r{)}^n$

 

$2P=P(1+r{)}^n$

 

P>0이므로 각 항으로 P로 나누면

$2=(1+r{)}^n$

 

각 항에 $ln$을 취해주면

$ln2$ = $n$ x $ln(1+r)$ 가 된다.

 

 

② $ln(1+r)$을 $r$로 치환하기

 

https://www.desmos.com/calculator?lang=ko

위 그래프는 $y=r$그래프와 $y=ln(1+r)$그래프이다.

 

r이 매우 작은 경우, $ln(1+r)$은 r과 매우 비슷하므로 

$n$ x $ln(1+r)$는 $n$ x $r$로 치환할 수 있다.

 

∴ $ln2$ = $n$ x $r$

 

③ Doubling rule을 만족시키는 $n$값 구하기

 

ln2는 약 0.69이 나오는데, 이를 0.7로 가정한다면

이자율이 r이라고 했을 때 원금의 2배가 되는 시기는 다음과 같다.

$n=\frac{0.7}{r}$

 

예를 들어 이자율이 1%라면 원금의 2배가 되는 시기는 

$n=\frac{0.7}{0.01}=70$

따라서 70년 뒤에 원금의 2배가 된다.

 

 

말 나온 김에 3배가 되는 경우도 구해보자.

 

$P(1+r{)}^n=3P$

$nln(1+r)=ln3=1.09$

 

$n=\frac{1.09}{ln(1+r)}=\frac{1.09}{r}$

 

r = 1%라고 했을 때 n 값은 위의 식에 넣으면 109년이다. 

 

위의 식을 python을 이용해서 구현해보자.