[경제성공학] RoR(Rate of Return)이란?

은행에 돈을 예금하는 이유는 이자 때문이다. 1년 후 미래에 얻게 되는 미래 가치 $F$는 연간 이자율을 $r$이라고 했을 때, 현재 투자하는 예금인 $P$의 $(1+r)$배인 $P(1+r)$로 표현할 수 있다. 하지만 만약 $r$이 음수라면 $F$는 $P$보다 작아지게 된다. 

RoR이란 미래가치 F가 현재 투자금액 P보다 더 크도록 만들어주는 최소한의 이자율이다.

 

ex)

현재 100달러를 투자해서 1년 뒤에 150달러를 받으려고 한다. 이때의 RoR은 몇%인가?

 

$100(1+r)^1 = 150$

 

$1+r = \frac{3}{2}$

 

따라서 이자율 RoR은 50%이다.

 

이제 ror을 1년이 아닌 n년으로 일반화시켜보자.

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아래와 같은 cash flow가 있다고 가정하자.

위와 같은 경우의 RoR을 구해보도록 하자!

 

 

$a = \frac{b_1}{(1+r)} + \frac{b_2}{(1+r)^2} + ...... + \frac{b_n}{(1+r)^n}$

 

변수 r에 대한 함수 $P$를 다음과 같이 정의하자.

 

$P(r) = -a + \Sigma_{i=1}^n b_i (1+r)^{-i} $

 

그리고 위의 함수 $P(r)$이 0이 되도록 하는 r값을 RoR이라고 한다. 

 

함수 $P(r)$을 그래프로 나타내보자

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$P(r)=0$이 되게하는 ror값을 r*이라고 하자.

 

$r* \neq 0$라고 가정했을 때

$P(0)$은 $-a + \Sigma b_i$이다. (r에 0을 넣은 이유는 단순히 그래프를 그릴 때 기준을 잡기 위해서이다.)

이제 $P(0)=0$인 경우를 기준으로 작을 때와 클 때를 살펴보도록 하자.

 

I. 만약 P(0) < 0인 경우

 

$P(0) = -a + \Sigma b_i$이고, $P(0) < 0$이므로

 

$\Sigma b_i < a$이다.

 

위의 결과는 미래에 들어오는 전체 수익들의 합이 투자금보다 작다는 것을 의미하고, 투자하는 것이 손해다, 즉 수익률이 나쁨을 의미한다. 

 

이제 함수 $P(r) = -a + \Sigma_{i=1}^n b_i (1+r)^{-i} $ 를 대충 그려보자.

함수를 그리기 위한 조건은 다음과 같다.

 

• $P(0) < 0$
• $\lim_{r \to -1} P(r) = \lim_{r \to -1} -a + \Sigma_{i-1}^n b_i (1+r)^{-i} = \infty$
• $\lim_{r \to \infty} P(r) = \lim_{r \to \infty} -a + \Sigma_{i-1}^n b_i (1+r)^{-i} = -a$

라는 점을 이용해서 그래프를 그리면 다음과 같다.

 

 

이를 통해 $P(0)<0$, 즉 수익률이 나쁜 상황에서는 RoR값이 음수 값임을 알 수 있다.

 

II. 만약 P(0) > 0인 경우

 

$P(0) = -a + \Sigma b_i$, $P(0) > 0$이므로

$\Sigma b_i > a$이다. 

 

위의 결과는 미래에 들어오는 전체 수익들의 합이 현재 투자금보다 크다는 것을 의미하고, 위의 사례와 반대로 수익률이 좋다는 것을 의미한다. 

 

함수 $P(r) = -a + \Sigma_{i=1}^n b_i (1+r)^{-i} $ 를 대충 그려보자.

 

 

• $P(0) > 0$
• $\lim_{r \to -1} P(r) = \lim_{r \to -1} -a + \Sigma_{i-1}^n b_i (1+r)^{-i} = \infty$
• $\lim_{r \to \infty} P(r) = \lim_{r \to \infty} -a + \Sigma_{i-1}^n b_i (1+r)^{-i} = -a$

 

 

그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.

 

$P(0)>0$, 즉 수익률이 좋은 상황에서는 RoR값이 양수 값이 된다.

 

 

예시를 통해 RoR을 구해보자.

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Q) 0기에 100달러를 투자하고, 매 년마다 55달러를 수익으로 얻는다. 이 과정이 2년 동안 지속되었을 때, RoR은 몇 %인가?

 

Sol)

$P(r) = -100 + \frac{55}{(1+r)} + \frac{55}{(1+r)^2}$

 

$P(r*)$이 0이 될때의 r*값을 찾자.

 

$100 = \frac{55}{(1+r)} +\frac{55}{(1+r)^2}$

 

$(1+r) = x$로 치환하자.

 

$100 = \frac{55}{x} + \frac{55}{x^2}$

 

$100x^2 = 55x + 55$

 

$100x^2 - 55x - 55 = 0$

 

$20x^2 - 11x - 11 = 0$

 

따라서 위의 식에 대한 해 $x$는

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 220}}{20} = \frac{11 \pm \sqrt{341}}{20}$ 이 나오고

 

$x = 1+r$이므로

 

$r = x-1 = \frac {\pm \sqrt{341} - 9}{20}$이다. 

 

$\Sigma b_i = 110 > a =100$이므로, RoR >0이다.

 

따라서 $RoR = \frac{\sqrt{341}-9}{20}$이다.