[경제성공학] RoR(Rate of Return)이란?

반응형

은행에 돈을 예금하는 이유는 이자 때문이다. 1년 후 미래에 얻게 되는 미래 가치 F는 연간 이자율을 r이라고 했을 때, 현재 투자하는 예금인 P(1+r)배인 P(1+r)로 표현할 수 있다. 하지만 만약 r이 음수라면 FP보다 작아지게 된다. 

RoR이란 미래가치 F가 현재 투자금액 P보다 더 크도록 만들어주는 최소한의 이자율이다.

 

ex)

현재 100달러를 투자해서 1년 뒤에 150달러를 받으려고 한다. 이때의 RoR은 몇%인가?

 

100(1+r)1=150

 

1+r=32

 

따라서 이자율 RoR은 50%이다.

 

이제 ror을 1년이 아닌 n년으로 일반화시켜보자.


 

아래와 같은 cash flow가 있다고 가정하자.

etc-image-0

위와 같은 경우의 RoR을 구해보도록 하자!

 

 

a=b1(1+r)+b2(1+r)2+......+bn(1+r)n

 

변수 r에 대한 함수 P를 다음과 같이 정의하자.

 

P(r)=a+Σi=1nbi(1+r)i

 

그리고 위의 함수 P(r)이 0이 되도록 하는 r값을 RoR이라고 한다. 

 

함수 P(r)을 그래프로 나타내보자


 

P(r)=0이 되게하는 ror값을 r*이라고 하자.

 

r0라고 가정했을 때

P(0)a+Σbi이다. (r에 0을 넣은 이유는 단순히 그래프를 그릴 때 기준을 잡기 위해서이다.)

이제 P(0)=0인 경우를 기준으로 작을 때와 클 때를 살펴보도록 하자.

 

I. 만약 P(0) < 0인 경우

 

P(0)=a+Σbi이고, P(0)<0이므로

 

Σbi<a이다.

 

위의 결과는 미래에 들어오는 전체 수익들의 합이 투자금보다 작다는 것을 의미하고, 투자하는 것이 손해다, 즉 수익률이 나쁨을 의미한다. 

 

이제 함수 P(r)=a+Σi=1nbi(1+r)i 를 대충 그려보자.

함수를 그리기 위한 조건은 다음과 같다.

 

  • P(0)<0
  • limr1P(r)=limr1a+Σi1nbi(1+r)i=
  • limrP(r)=limra+Σi1nbi(1+r)i=a

라는 점을 이용해서 그래프를 그리면 다음과 같다.

 

etc-image-1

 

이를 통해 P(0)<0, 즉 수익률이 나쁜 상황에서는 RoR값이 음수 값임을 알 수 있다.

 

II. 만약 P(0) > 0인 경우

 

P(0)=a+Σbi, P(0)>0이므로

Σbi>a이다. 

 

위의 결과는 미래에 들어오는 전체 수익들의 합이 현재 투자금보다 크다는 것을 의미하고, 위의 사례와 반대로 수익률이 좋다는 것을 의미한다. 

 

함수 P(r)=a+Σi=1nbi(1+r)i 를 대충 그려보자.

 

 

  • P(0)>0
  • limr1P(r)=limr1a+Σi1nbi(1+r)i=
  • limrP(r)=limra+Σi1nbi(1+r)i=a

 

 

그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.

etc-image-2

 

P(0)>0, 즉 수익률이 좋은 상황에서는 RoR값이 양수 값이 된다.

 

 

예시를 통해 RoR을 구해보자.


 

Q) 0기에 100달러를 투자하고, 매 년마다 55달러를 수익으로 얻는다. 이 과정이 2년 동안 지속되었을 때, RoR은 몇 %인가?

 

Sol)

P(r)=100+55(1+r)+55(1+r)2

 

P(r)이 0이 될때의 r*값을 찾자.

 

100=55(1+r)+55(1+r)2

 

(1+r)=x로 치환하자.

 

100=55x+55x2

 

100x2=55x+55

 

100x255x55=0

 

20x211x11=0

 

따라서 위의 식에 대한 해 x

x=11±121+22020=11±34120 이 나오고

 

x=1+r이므로

 

r=x1=±341920이다. 

 

Σbi=110>a=100이므로, RoR >0이다.

 

따라서 RoR=341920이다.

 

 

 

728x90
반응형